部品の強さを確かめるとき、「応力」を1つの数で見がちです。けれども、物の中の小さな部分には、引っ張る・押す応力と、ずらす応力（せん断応力）が同時にはたらいていて、その大きさは「どの向きの面で見るか」で変わります。主応力（しゅおうりょく）とは、せん断応力が0になる向きの面にはたらく垂直応力で、その点でいちばん大きい引張り・いちばん小さい応力を表します。このページでは、主応力の求め方、最大せん断応力、モールの応力円、壊れるかどうかの判定（ミーゼス応力・トレスカ）までを、計算例と図で説明します。
主応力とは：ひとことで言うと
ひとことで言うと
物の中の小さな四角をくるっと回していくと、ずらす応力（せん断応力）が0になる向きが必ずある。そのときの面に残る、引っ張る・押す応力が主応力。
大きい順に σ1・σ2・σ3 と呼ぶ。σ1 はどの向きで見た垂直応力よりも大きく、σ3 はいちばん小さい（σ2 はその中間）。
出典：Wikipedia「主応力」をもとに AI（Claude）で作成
Wikipedia の「主応力」によると、せん断応力の成分がすべて0になる座標の向きを「主軸（主応力軸）」、そのときの垂直応力を「主応力」、主軸に垂直な面を「主面（主応力面）」と呼びます。応力は向きを変えても成り立つ量（対称なテンソル）なので、こうした向きが必ずあります。
同じページは、主応力が「あらゆる向きで見た垂直応力のうち、いちばん大きい値・いちばん小さい値」になると説明しています。3次元では大きい順に σ1（最大主応力）・σ2（中間主応力）・σ3（最小主応力） と並べます。
部品のどこが壊れやすいかを考えるとき、x・y の向きの応力をそれぞれ見るだけでは足りません。たとえば σx が小さくても、せん断応力 τxy が大きければ、斜めの向きで大きな引張りの応力がはたらいていることがあります。その「本当にいちばん大きい応力」を取り出すのが主応力です（編集部の補足）。
主応力の求め方：2次元（平面応力）の式と計算例
板や薄い部品の表面のように、厚さの向きの応力が0とみなせる状態を「平面応力」といいます。このとき、σx・σy・τxy の3つから主応力を求められます。
σ1, σ2 ＝（σx ＋ σy）÷ 2 ± √｛（（σx − σy）÷ 2）² ＋ τxy²｝
Wikipedia「主応力」では、この式を「固有値問題」を解いた結果として示しています（根号の中を (σx − σy)² ＋ 4τxy² の形で書いています。全体を 2 で割る形に書き直すと上の式と同じになります。書き直しは編集部）。右の √ の部分は、あとで説明するモールの応力円の「半径」にあたります。
主応力の向き（x 軸から回す角度 θp）は、次の式で求められます。
tan 2θp ＝ 2τxy ÷（σx − σy）
この形は、モールの応力円で「主面の角度は、円の上の点（σx, τxy）と中心を結ぶ線が横軸となす角の半分」（Wikipedia「モールの応力円」）という関係から出てきます（式の形への書き直しは編集部）。
計算例：σx ＝ 80 MPa、σy ＝ 20 MPa、τxy ＝ 40 MPa
| 順番 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| ① 平均 | （80 ＋ 20）÷ 2 | 50 MPa |
| ② 半径 | √｛（（80 − 20）÷ 2）² ＋ 40²｝＝ √（30² ＋ 40²） | 50 MPa |
| ③ 最大主応力 σ1 | 50 ＋ 50 | 100 MPa |
| ④ 最小主応力 σ2 | 50 − 50 | 0 MPa |
| ⑤ 主応力の向き θp | tan 2θp ＝ 2 × 40 ÷（80 − 20）＝ 1.33 → 2θp ≒ 53.1° | 約 26.6° |
| ⑥ 最大せん断応力 τmax | 半径と同じ（下の節） | 50 MPa |
x の向きだけを見ると応力は 80 MPa ですが、約 26.6° 傾いた向きでは 100 MPa の引張りがはたらいています。強度を確かめるときに 80 MPa で判断すると、約2割低く見積もることになります（計算は編集部）。
出典：主応力｜Wikipedia、モールの応力円｜Wikipedia
最大せん断応力：主応力の差の半分
出典：Wikipedia「主応力」をもとに AI（Claude）で作成
せん断応力にも「いちばん大きくなる向き」があります。Wikipedia「主応力」は、これを主せん断応力と呼び、主軸から 45° 傾いた面にはたらき、大きさは主応力の差の半分だと説明しています。
τmax ＝（σ1 − σ2）÷ 2 （3次元では（σ1 − σ3）÷ 2）
同じページは、3つの主せん断応力を τ1 ＝ |σ2 − σ3| ÷ 2、τ2 ＝ |σ3 − σ1| ÷ 2、τ3 ＝ |σ1 − σ2| ÷ 2 と書いています。いちばん大きいのは、最大の主応力と最小の主応力の差の半分です。また、この 45° の面には、せん断応力だけでなく垂直応力もはたらきます。
棒をまっすぐ引っ張る場合は σ1 ＝ σ（P ÷ A）、σ2 ＝ 0 なので、引っ張っているだけでも、45° の面には σ ÷ 2 のせん断応力がはたらきます（上の式からの計算）。金属のようなねばい材料（延性材料）は、せん断でずれるように変形して降伏するため、引張試験で斜めの向きにすべりの筋が出たり、カップアンドコーン型の破面の縁が斜めになったりします（編集部の補足。破面の見方は基礎知識「せん断破壊」にあります）。
モールの応力円：図で主応力を読む
出典：Wikipedia「モールの応力円」、Wikipedia（英語版）「Mohr’s circle」をもとに AI（Claude）で作成
主応力と最大せん断応力を、円を1つ描くだけで読み取れるようにしたのが「モールの応力円」です。横軸に垂直応力 σ、縦軸にせん断応力 τ をとり、中心が（σx ＋ σy）÷ 2、半径が上の √ の部分の円になります（英語版 Wikipedia「Mohr’s circle」）。
| 円のどこを見るか | わかること | 計算例の値 |
|---|---|---|
| 中心 | 平均の垂直応力（σx ＋ σy）÷ 2 | 50 MPa |
| 円が横軸と交わる右の点 | 最大主応力 σ1 ＝ 中心 ＋ 半径 | 100 MPa |
| 円が横軸と交わる左の点 | 最小主応力 σ2 ＝ 中心 − 半径 | 0 MPa |
| 円のいちばん上（下） | 最大せん断応力 τmax ＝ 半径 | 50 MPa |
| 点（σx, τxy）から横軸までの角度 | 主応力の向きの2倍（2θp） | 約 53° |
英語版 Wikipedia によると、物の上で面を θ 回すと、円の上では同じ向きに 2θ 進みます。円の上で 180° 反対の点は、物の上では 90° 違う面です。純せん断（せん断応力だけの状態）では、円は原点が中心・半径 τ の円になり、主応力は ±τ になります（Wikipedia「モールの応力円」）。
なお、τ を上向きと下向きのどちらにとるかは、教科書によって逆のことがあります。どちらの決め方でも、主応力と最大せん断応力の値は同じです（編集部の補足）。
名前は、ドイツの技術者クリスティアン・オットー・モール（1835〜1918年）にちなみます。英語版 Wikipedia によると、モールは1882年にこの図で応力を解く方法を発表しました。それより前に、カール・クルマンが図で解く方法を示しており、モールがそれを2次元・3次元の応力に広げました。
出典：Mohr’s circle｜Wikipedia（英語版）、モールの応力円｜Wikipedia、Christian Otto Mohr｜Wikipedia（英語版）
ねじりと圧力容器：主応力で割れ方を説明する
ねじり：主応力は軸から 45° の向き
出典：Wikipedia「モールの応力円」、Wikipedia「主応力」をもとに AI（Claude）で作成
軸をねじると、表面の小さな四角にはせん断応力 τ だけがはたらきます（純せん断）。モールの応力円で見ると、主応力は ＋τ（引張り）と −τ（圧縮）で、その向きは軸から 45° 傾いています（Wikipedia「モールの応力円」「主応力」）。
鋳鉄のように引張りに弱いもろい材料は、いちばん大きい引張りの主応力に直角な面で割れやすいため、ねじると軸に 45° のらせん状に割れます。一方、ねばい鋼の軸は、せん断応力が最大になる面のうち、軸に直角な面でずれるように切れることが多く、同じねじりでも割れる向きが違います（編集部の補足）。
内圧を受ける円筒：周方向の応力は軸方向の2倍
出典：Wikipedia（英語版）「Cylinder stress」をもとに AI（Claude）で作成
配管や圧力容器のような薄い円筒に内圧 p がかかると、壁には周方向（円周の向き）と軸方向の応力が生じます。英語版 Wikipedia「Cylinder stress」によると、周方向の応力は p × r ÷ t、軸方向の応力は p × r ÷（2t）で、周方向は軸方向の2倍です（r は平均の半径、t は厚さ）。平均の直径 D で書くと σθ ＝ pD ÷（2t）、σz ＝ pD ÷（4t）です。
壁の小さな四角にはせん断応力がはたらかないので、この2つがそのまま主応力で、最大主応力 σ1 は周方向の応力です。たとえば D ＝ 100 mm、t ＝ 2 mm、p ＝ 1 MPa なら、σθ ＝ 25 MPa、σz ＝ 12.5 MPa になります（計算と主応力の読み取りは編集部）。円筒の破裂で軸に沿った縦の割れが多いのも、周方向の応力が大きいためです（編集部の補足）。
出典：Cylinder stress｜Wikipedia（英語版）、モールの応力円｜Wikipedia、主応力｜Wikipedia
壊れるかどうかの判定：ミーゼス応力とトレスカ
出典：Wikipedia（英語版）「Von Mises yield criterion」をもとに AI（Claude）で作成
主応力がわかると、「この応力の組み合わせで、材料が降伏する（元に戻らない変形が始まる）か」を判定できます。引張試験の降伏応力は1方向に引っ張ったときの値なので、2方向・3方向に応力がはたらく所では、主応力から1つの「相当応力」をつくって比べます。
| 考え方 | 判定に使う量 | 特徴 |
|---|---|---|
| 最大主応力説 | いちばん大きい主応力 σ1 | 主応力そのものを限界と比べる |
| 最大せん断応力説（トレスカ） | τmax ＝（σ1 − σ3）÷ 2 | 最大と最小の主応力の差が降伏応力に達したら降伏とみなす。平面応力では、厚さの向きの主応力 0 も含めて最大・最小を選ぶ |
| せん断ひずみエネルギー説（ミーゼス） | ミーゼス応力 σv | 平面応力では σv ＝ √（σ1² − σ1σ2 ＋ σ2²）が降伏応力に達したら降伏とみなす |
英語版 Wikipedia「Von Mises yield criterion」によると、ミーゼス応力は、平面応力では σv ＝ √（σ1² − σ1σ2 ＋ σ2²）で、σv が降伏応力に達したときに降伏すると考えます。σ1・σ2 の図では楕円になり、トレスカの六角形はその楕円の内側に入ります。つまり、トレスカのほうが早めに「降伏する」と判定する、安全側の考え方です。
同じページによると、ねじり（純せん断）で降伏するせん断応力は、ミーゼスでは降伏応力の 1/√3（約 0.577）倍、トレスカでは 1/2 倍です。1方向の引張りでは、2つの考え方の結果が一致します（2方向に同じだけ引っ張る場合も一致します。こちらは編集部の計算）。
CAE（構造解析）のソフトで色分けされる「ミーゼス応力」は、この考え方で主応力を1つの数にまとめたものです。金属の部品の降伏を見るときはミーゼス応力、もろい材料の割れを見るときは最大主応力を見る、というように使い分けます（編集部の補足）。
出典：Von Mises yield criterion｜Wikipedia（英語版）
主応力を測る：ひずみゲージの3軸ロゼット
実物の部品で主応力を知りたいときは、ひずみゲージで表面のひずみを測ります。ひずみゲージメーカー Micro-Measurements の解説によると、主応力の向きがわからない場所では、3つの向きのひずみを1か所で測る「3軸ロゼットゲージ」が必要です。3つのひずみから、主ひずみとその向き、せん断ひずみが計算でき、材料の特性（縦弾性係数・ポアソン比など）がわかれば応力も求められます。
主応力の向きがはじめからわかっている場合（たとえば上の円筒の周方向と軸方向）は、2つの向きのゲージで足ります（同じ解説）。ひずみゲージのしくみと選び方は、下の技術ページで説明しています。
出典：Many Directions, One Sensor: 3-Element Rosette｜Micro-Measurements（Strain Gage Blog）
主応力が出てくるページ
出典
- 主応力｜Wikipedia
- モールの応力円｜Wikipedia
- Mohr’s circle｜Wikipedia（英語版）
- Christian Otto Mohr｜Wikipedia（英語版）
- Cylinder stress｜Wikipedia（英語版）
- Von Mises yield criterion｜Wikipedia（英語版）
- Many Directions, One Sensor: 3-Element Rosette｜Micro-Measurements（Strain Gage Blog）
※図は、出典の説明をもとに編集部がまとめた模式図です。計算例の数値は説明のために選んだもので、特定の部品の値ではありません。
※アイキャッチ画像は、AI（ChatGPT）で生成したイメージです。実在の製品ではありません。
情報の確認日：2026年11月9日
